Você provavelmente foi obrigado a baixar o Facebook Messenger, aplicativo de mensagens do Facebook, para conseguir enviar e receber mensagens privadas na rede social. E, ao que tudo indica, a ideia da empresa é que você literalmente não se desconecte nunca, porque não existe, no app para Android, um botão que permita realizar o logout do serviço.
Exatamente. Na visão da empresa, você não deve jamais sair da sua conta sem desinstalar o aplicativo. Veja a explicação da empresa:
Android
1. Abra as configurações do sistema e clique em "Aplicativos" ou "Apps" (depende da sua versão do Android);
2. Procure pelo "Messenger";
3. Entre em "Armazenamento" e pressione o botão "Limpar Dados";
4. Confirme a operação.
Pronto: você estará oficialmente desconectado do Messenger.
iOS
No iOS, é preciso desinstalar o aplicativo e reinstalá-lo novamente para se desconectar.